Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H, ta định nghĩa tập các vectơ trực giao với we define the S là

S p e r p = { x ∈ H : ⟨ x , s ⟩ = 0   ∀ s ∈ S } {\displaystyle S^{\mathrm {perp} }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}

Sperp là một không gian con đóng của H và do đó chính nó tạo thành một không gian Hilbert. Nếu V là một không gian con đóng của H, thì Vperp được gọi là phần bù trực giao của V. Thực vậy, mỗi x trong H có thể được viết ra một cách duy nhất như là x = v + w, với v trong V và w trong Vperp. Do đó, H là một tổng trực tiếp của V và Vperp. Toán tử tuyến tính PV: H → H đưa x sang v được gọi là phép chiếu trực giao vào V.

Định lý. Phép chiếu trực giao PV là một toán tử tuyến tính self-adjoint trên H với chuẩn ≤ 1 với tính chất PV2 = PV. Hơn nữa, bất kì toán tử tuyến tính self-adjoint E nào sao cho E2 = E đều có dạng PV, với V là range của E. Với mỗi x trong H, PV(x) là một phần tử duy nhất v của V làm tối thiểu khoảng cách ||x - v||.

Điều này cung cấp một diễn đạt hình học của PV(x): nó là phần tử xấp xỉ tốt nhất cho x bởi các phần tử trong V.